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抓住图形结构 探寻求解策略——一道全国初中数学联赛试题的解法探究 被引量：13
1
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2017年第9期82-85,共4页
一、试题呈现 试题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°,AB=AC√5,CD=1,对角线的交点为M,则DM=（ ）.
关键词 数学联赛试题 图形结构 求解策略 解法 初中 四边形 对角线
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追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究 被引量：9
2
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2015年第4期88-91,共4页
一、试题呈现 题目 （2011年北京市初二数学竞赛试题）如图1，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF/AB。线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（ ）。
关键词 变式 三角形中位线 竞赛题 解题方法 辅助线 基本图形 重要公式 已知条件 竞赛试题 沙坡头区
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关注基本模型 彰显问题本源——勾股定理“总统证法”的几何模型在解竞赛题中的应用 被引量：7
3
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2017年第6期79-80,共2页
一、模型呈现 1876年,美国第20任总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用两个相同的直角三角形验证了勾股定理.1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年,伽菲尔德就任美国第20任总统,后... 一、模型呈现 1876年,美国第20任总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用两个相同的直角三角形验证了勾股定理.1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年,伽菲尔德就任美国第20任总统,后来人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统证法。 展开更多
关键词 勾股定理 几何模型 总统 证法 竞赛题 应用 本源 直角三角形
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对一道与正方形有关的竞赛试题的变式探究 被引量：6
4
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2016年第7期74-76,共3页
一、试题及解答 试题（2015年福建省初中数学竞赛试题）如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,则△CEF的周长为____.
关键词 变式 竞赛试题 全等三角形 几何画板 图形变换 基本图形 对称点 说明理由 图形的 逆时针方向
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突破形变干扰,构建基本模型——2017年浙江省杭州市中考数学第10题的解法、变式探究及改进 被引量：6
5
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2018年第3期68-71,共4页
一、试题呈现试题:(2017年浙江省杭州市中考数学第10题)如图1,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D,设BD=x,tan∠ACB=y,则().A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21试题评析:本题以学生非常熟悉的... 一、试题呈现试题:(2017年浙江省杭州市中考数学第10题)如图1,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D,设BD=x,tan∠ACB=y,则().A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21试题评析:本题以学生非常熟悉的等腰三角形和线段的垂直平分线为基本图形,主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的边角关系、相似三角形的判定与性质或三角形中位线的性质等知识点,是《义教育教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课程标准》)规定的最基础最核心的内容之一.本题图形简洁明了,将几何与代数融为一体,蕴含重要的数学思想方法。 展开更多
关键词 数学课程标准 杭州市 浙江省 变式探究 线段垂直平分线 中考 等腰三角形 干扰
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一道初中数学竞赛试题的多种解法 被引量：4
6
作者 张宁 《数理化学习》 2017年第5期38-40,共3页
本文对一道初中数学竞赛试题的解法进行了探索,从图形的基本特征入手,抓住关键条件,通过构造直角三角形、正方形或辅助圆,给出了多种自然解法,从而培养学生数学思维的广度与深度,使学生运用所学知识分析问题和解决问题时能够举一反三,... 本文对一道初中数学竞赛试题的解法进行了探索,从图形的基本特征入手,抓住关键条件,通过构造直角三角形、正方形或辅助圆,给出了多种自然解法,从而培养学生数学思维的广度与深度,使学生运用所学知识分析问题和解决问题时能够举一反三,达到事半功倍的效果. 展开更多
关键词 直角三角形 正方形 基本特征 构造 解法
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一道中考压轴题的解法探究
7
作者 殷秀琴 《数理化学习（初中版）》 2023年第2期34-37,共4页
2022年江苏省无锡市中考数学第10题是一道以平行四边形为背景,以线段之比为问题情境的几何计算问题.本题是选择题中的一道压轴题,具有一定的难度.从不同角度出发,通过构造直角三角形、相似三角形、全等三角形等基本图形,然后利用勾股定... 2022年江苏省无锡市中考数学第10题是一道以平行四边形为背景,以线段之比为问题情境的几何计算问题.本题是选择题中的一道压轴题,具有一定的难度.从不同角度出发,通过构造直角三角形、相似三角形、全等三角形等基本图形,然后利用勾股定理、直角三角形的边角关系、相似三角形的性质、全等三角形的性质等知识探寻有关线段之间的数量关系,给出了本题的九种解法.通过多种解法的探究,不仅能有效提高学生的几何推理能力,而且能够培养学生的发散思维和创新思维. 展开更多
关键词 平行四边形 线段之比 直角三角形
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一道全国初中数学竞赛试题的有关结论及变式探究 被引量：4
8
作者 张宁 《数理化学习》 2016年第10期3-5,共3页
在平面几何试题中,除了试题中要求解答的问题外,往往还隐含着许多与角或线段有关的结论,一方面,图形中的某些线段之间可能存在特殊的位置关系或大小关系;另一方面,图形中的某些角之间可能存在一定的数量关系.对于复杂点的几何试题,用几... 在平面几何试题中,除了试题中要求解答的问题外,往往还隐含着许多与角或线段有关的结论,一方面,图形中的某些线段之间可能存在特殊的位置关系或大小关系;另一方面,图形中的某些角之间可能存在一定的数量关系.对于复杂点的几何试题,用几何方法发现这些结论是比较困难的.利用解析法,以数解形,这样很容易发现几何图形中有关线段之间的大小关系、直线之间的位置关系等,利用发现的这些结论可对几何试题进行变式,命制出新颖的几何试题. 展开更多
关键词 以数解形 图形变换 解析法 变式
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二次函数最值问题的常用求解策略 被引量：4
9
作者 张宁 《数理化学习》 2018年第3期23-27,共5页
二次函数是初中数学中非常重要的内容之一,运用二次函数可以解决贴近生活实际的很多应用题.与二次函数有关的应用问题的最值有多种可能情况,一是在二次函数图像的顶点处取最值;二是对多个函数分别求得最值后再通过比较获取最值;三是在... 二次函数是初中数学中非常重要的内容之一,运用二次函数可以解决贴近生活实际的很多应用题.与二次函数有关的应用问题的最值有多种可能情况,一是在二次函数图像的顶点处取最值;二是对多个函数分别求得最值后再通过比较获取最值;三是在不包括二次函数对称轴的一侧取得最值;四是在对称轴附近的整点处获取最值.因此,在解决二次函数应用题时要根据题意,灵活应用函数的有关性质及数形结合的思想求解. 展开更多
关键词 二次函数 最值 求解策略 数形结合
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以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究 被引量：3
10
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2014年第4期92-94,共3页
一、基本模型例1 （2008年广东省初中数学竞赛）如图1,正方形ABCD的边长为2,点E在边AB上.四边形EFGB也是正方形,设△AFC的面积为.S,则（）.A.S=2 B.S=2.4C.S=4 D.S与BE的长度有关解析：设正方形BEFG的边长为a,则AE=2-a,CG=2＋a.S=S△ABC... 一、基本模型例1 （2008年广东省初中数学竞赛）如图1,正方形ABCD的边长为2,点E在边AB上.四边形EFGB也是正方形,设△AFC的面积为.S,则（）.A.S=2 B.S=2.4C.S=4 D.S与BE的长度有关解析：设正方形BEFG的边长为a,则AE=2-a,CG=2＋a.S=S△ABC＋S正方形BEFG＋S △AEF-S △CGF=1/2×2×2＋a2＋1/2a（2-a）-1/2a（2＋a）=2＋a2＋a-1/2a2-a-1/2a2=2.点评：本题以两个具有一个公共顶点的正方形为基本模型,主要考查了正方形的性质、三角形面积的求法等知识. 展开更多
关键词 正方形 变式探究 中考试题 模型 三角形面积 2008年 数学竞赛 广东省
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以勾股图为模型的中考试题及其变式探究 被引量：3
11
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2013年第1期43-46,共4页
勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理，它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值．验证勾股定理的方法非常多，最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图．在近几年的中考中，以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜．... 勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理，它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值．验证勾股定理的方法非常多，最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图．在近几年的中考中，以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜．笔者从近几年的中考试题中选取了一些以勾股图为模型编拟的中考试题，并对这些试题进行变式探究，得到一系列有趣的数学问题，供读者参考． 展开更多
关键词 中考试题 变式探究 模型 勾股定理 直角三角形 三边关系 文化价值 数学问题
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平面直角坐标系中三角形面积的求解策略 被引量：3
12
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2013年第6期69-73,共5页
在近几年全国各地中考试题中，经常出现与平面直角坐标系中三角形面积有关的问题，这类试题大多与一次函数、二次函数及反比例函数的图像相结合，形式灵活多样，具有一定的综合性．笔者结合2012年全国各地中考试题，归纳出平面直角坐标... 在近几年全国各地中考试题中，经常出现与平面直角坐标系中三角形面积有关的问题，这类试题大多与一次函数、二次函数及反比例函数的图像相结合，形式灵活多样，具有一定的综合性．笔者结合2012年全国各地中考试题，归纳出平面直角坐标系中三角形面积的几种求解策略，与同行分享． 展开更多
关键词 平面直角坐标系 三角形面积 求解策略 中考试题 反比例函数 一次函数 二次函数 归纳
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一道中考填空压轴题的解法探究与变式 被引量：3
13
作者 张宁 《数理化学习》 2019年第12期38-42,共5页
2018年浙江省宁波市中考数学第18题是填空题中的一道压轴题,本题以菱形为基本图形,主要考查菱形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点,这些知识点都是《义务教育数学课程标准(2011年版)》规定的最... 2018年浙江省宁波市中考数学第18题是填空题中的一道压轴题,本题以菱形为基本图形,主要考查菱形的性质、直角三角形的性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质等知识点,这些知识点都是《义务教育数学课程标准(2011年版)》规定的最基础最核心的内容.本文从90°角的基本用法入手,通过添加辅助线建立起了几何图形中已知条件与所求结论之间逻辑关系,从而得到了本题的多种解法.一是构造直角三角形,利用勾股定理列方程求解;二是构造相似三角形,利用相似三角形的性质列方程求解;三是构造辅助圆,利用圆的性质求解;四是建立平面直角坐标系,利用函数的性质求解;五是从教师的角度出发,利用余弦定理及勾股定理列方程求解."一题多解"是培养学生几何推理能力的基本途径之一,也是提升数学教师专业素养的有效途径之一. 展开更多
关键词 菱形 构造 转化 变式
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认识问题本质,追求自然解法——一道“希望杯”全国初中数学邀请赛试题的解法及变式探究 被引量：3
14
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2017年第2期94-97,共4页
《中学数学》（下）2016年第7期刊登了李玉荣老师的《自然解法“无果”,另辟蹊径“有门”》一文,讨论了第24届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第2试第22题的解法,读后受益匪浅.文中呈现了命题组给出的两种参考答案,这两种解法都是利... 《中学数学》（下）2016年第7期刊登了李玉荣老师的《自然解法“无果”,另辟蹊径“有门”》一文,讨论了第24届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第2试第22题的解法,读后受益匪浅.文中呈现了命题组给出的两种参考答案,这两种解法都是利用勾股定理列方程（组）求解,一是列出了二元二次方程组,二是列出了无理方程,正如李老师所说,这两种解法的难点显然是所列方程（组）超越了学生的能力范畴,学生难以求解. 展开更多
关键词 变式 问题本质 二元二次方程组 李老师 全等三角形 相似三角形 解题教学 已知条件 波利亚 参考答案
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例谈特殊化策略在解题中的应用 被引量：3
15
作者 张宁 《数理化学习》 2017年第8期8-12,共5页
特殊化策略就是将原问题看作一般问题,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得解决原问题的基本策略.它是一种以＂退＂求＂进＂的解题策略,所谓＂退＂,就是从一般退到特殊,在特殊问题的解决过程中,可以从中获取解决一般问题的基本策... 特殊化策略就是将原问题看作一般问题,构造其特殊问题,通过对特殊问题的解决而获得解决原问题的基本策略.它是一种以＂退＂求＂进＂的解题策略,所谓＂退＂,就是从一般退到特殊,在特殊问题的解决过程中,可以从中获取解决一般问题的基本策略.＂进＂就是从特殊推广到一般.本文以近年全国各地中考试题为例,说明特殊化策略在解题中的应用. 展开更多
关键词 特殊化策略 特殊 一般
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一道全国初中数学联赛试题的九种证法与变式探究 被引量：3
16
作者 张宁 《数理化学习》 2019年第10期34-37,共4页
2017年全国初中数学联赛四川赛区决赛第12题以正方形为基本图形,主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的条件与性质等知识点,... 2017年全国初中数学联赛四川赛区决赛第12题以正方形为基本图形,主要考查平行线的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆的条件与性质等知识点,它将基础知识、基本方法、基本能力和数学核心素养融为一体,具有很强的探索性,对培养学生几何推理能力有一定的作用,文中立足基本方法,给出了它的九种证法.一是构造全等三角形,然后利用全等三角形的性质证明两条线段相等;二是利用等腰三角形的性质证明两条线段相等;三是利用三角形中位线的性质或相似三角形的性质证明两条线段相等;四是利用平行四边形的性质证明两条线段相等;五是利用解析法证明线段相等.这些方法是最基本的几何方法,是指引解题方向的“灯塔”;在基本方法的指引下,要善于运用转化策略,这是基本方法得以实现的“钥匙”. 展开更多
关键词 正方形 解析法 变式
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关注倍角模型,破解中考压轴题——等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用 被引量：3
17
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2018年第10期95-97,共3页
一、模型呈现如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,∠BAE是顶角∠BAC的外角,则:(1)∠BAC=2∠DBC,即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(2)∠BAE=2∠ABC=2∠ACB,即等腰三角形顶角的外角等于一个底角的两倍.证明:(1)如图2... 一、模型呈现如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,∠BAE是顶角∠BAC的外角,则:(1)∠BAC=2∠DBC,即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(2)∠BAE=2∠ABC=2∠ACB,即等腰三角形顶角的外角等于一个底角的两倍.证明:(1)如图2,过点A作AF⊥BC,垂足为F,则∠FAC+∠ACB=90°.由等腰三角形"三线合一"的性质,可知AF平分∠BAC。 展开更多
关键词 等腰三角形 中考压轴题 相似三角形 ACB 勾股定理 几何推理 一次函数 基本图形 一元二次方程 关系模型
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与“三角形内一点”有关的竞赛题求解策略 被引量：2
18
作者 张宁 《数理化学习》 2017年第11期24-27,共4页
在近几年各类数学竞赛中,经常出现与＂三角形内一点＂有关的试题.当＂三角形内一点＂是三角形的内心、外心、垂心、重心、费马点等特殊点时,可借助于这些特殊点的性质求解;当＂三角形内一点＂不是这些特殊点时,通常需要根据图形的特点,... 在近几年各类数学竞赛中,经常出现与＂三角形内一点＂有关的试题.当＂三角形内一点＂是三角形的内心、外心、垂心、重心、费马点等特殊点时,可借助于这些特殊点的性质求解;当＂三角形内一点＂不是这些特殊点时,通常需要根据图形的特点,利用特殊方法求解.在这类试题中,已知条件与所求结论通常不在同一个三角形中或它们比较分散,无法直接利用三角形的性质求解.为此需要考虑借助于图形变换或添加辅助线等手段迁移图形中相关元素的位置,使已知条件与所求结论集中到一个具有特殊性质的图形中,然后利用特殊图形的性质求解,从而达到解决问题的目的.以近几年竞赛试题为例,说明当＂三角形内一点＂不是内心、外心、垂心、重心、费马点等特殊点时有关竞赛题的求解策略. 展开更多
关键词 三角形内一点 旋转变换 特殊图形 辅助圆
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解析法:命制几何试题的一种有效方法——以2014年北京市一道中考试题为例 被引量：2
19
作者 张宁 《中学数学（初中版）》 2014年第10期82-84,共3页
一、试题及解答 试题（2014年北京市）如图1，在平行四边形ABCD中，4E平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF相交于点P，连接EF、PD．
关键词 中考试题 北京市 几何试题 解析法 命制 平行四边形 ABC
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抓住图形特征 解法自然生成 被引量：2
20
作者 张宁 《初中数学教与学》 2017年第12期25-28,共4页
试题（2017年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题）如图1，在等腰AABC中，∠ACB=90°，M是边AC的中点，D是边BC上一点，直线AD、BM交于点E，且ME=MA．
关键词 图形特征 法自然 数学竞赛试题 福建省 初中 直线
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