摘要
定理梯形的两条对角线和两腰所在的两个三角形的面积相等,且这个面积是梯形两条对角线与两底所在的两个三角形面积的比例中项。证明:如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,记∠AOB=a,△AOD、△BOC的两面积分别为 S<sub>1</sub>、S<sub>2</sub>,内三角形面积公式可知:S<sub>△ABC</sub>=S<sub>△DBC</sub>, ∴ S<sub>△ABC</sub>-S<sub>△BOC</sub>=S<sub>△DBC</sub>-S<sub>△BOC</sub>, ∴ S<sub>△AOB</sub>=S<sub>△DOC</sub>。又S<sub>1</sub>·S<sub>2</sub>=1/2OA·ODsina·1/2OB·OCsina =1/2OA·OBsina·1/2OD·OCsina =S<sub>△AOB</sub><sup>2</sup>。应用上面的定理,解决一类作图题和与梯形面积有关的竞赛题。
