摘要
在线性代数中,矩阵 A 与它的伴随矩阵 A<sup>*</sup>之间有一些特殊的关系,本文给出几个命题,并证明之。命题一:若 A 为非奇异矩阵,则 A<sup>*</sup>也为非奇异矩阵。证明:当 A 为 n （n≥2）阶非奇异矩阵时,|A|≠0,且A<sup>*</sup>=|A|A<sup>-1</sup>,所以|A<sup>*</sup>|=det(|A|A<sup>-1</sup>)=|A|<sup>n</sup>·|A<sup>-1</sup>|=|A|<sup>n</sup>·|A|<sup>-1</sup>=|A|<sup>n-1</sup>≠0,从而A<sup>*</sup>为非奇异矩阵。命题二:若 A 为正交矩阵,则 A<sup>*</sup>也为正交矩阵。证明:A 为正交矩阵,则 A<sup>T</sup>A=AA<sup>T</sup>=E 且|A|<sup>2</sup>=1,A<sup>-1</sup>=A<sup>T</sup>,又 A<sup>*</sup>=|A|A<sup>-1</sup>,故 A<sup>*</sup>（A<sup>*</sup>）<sup>T</sup>=|A|A<sup>-1</sup>(|A|A<sup>-1</sup>)<sup>T</sup>=|A|<sup>2</sup>A<sup>-1</sup>(A<sup>-1</sup>)<sup>T</sup>=A<sup>T</sup>A=E,从而 A 为正交矩阵。命题三:若 A 为对称矩阵,则 A<sup>*</sup>也为对称矩阵。证明:由 A 为对称矩阵,得A<sup>T</sup>=A,又（A<sup>*</sup>）<sup>T</sup>=（A<sup>T</sup>）<sup>*</sup>=A<sup>*</sup>,所以 A<sup>*</sup>也为对称矩阵。
