一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f（x）=（x<sup>2</sup>-4）<sup>1/2</sup>（x≤-2）.（1）求f<sup>-1</sup>（x）;（2）设a<sub>1</sub>=1,a<sub>n</sub>=f<...一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f（x）=（x<sup>2</sup>-4）<sup>1/2</sup>（x≤-2）.（1）求f<sup>-1</sup>（x）;（2）设a<sub>1</sub>=1,a<sub>n</sub>=f<sup>-1</sup>(a<sub>n-1</sub>)（n≥2,n∈N）,求a<sub>n</sub>;（3）求sum from i=1 to n 1/（a<sub>1</sub>+a<sub>i</sub>+1）的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:（1）函数,f（x）=（x<sup>2</sup>-4）<sup>1/2</sup>（定义域为x≤—2,值域为y≥0）的反函数为f<sup>-1</sup>（x）=-（x<sup>2</sup>+4）<sup>1/2</sup>（定义域为x≥0,值域为y≤-2） （2）∵a<sub>1</sub>=1,a<sub>n</sub>=f<sup>-1</sup>(a<sub>n-1</sub>)由迭代法得:a<sub>n</sub>=-(a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>+4)<sup>1/2</sup>=-(a<sub>n-2</sub><sup>2</sup>+2×4)<sup>1/2</sup>=…=-（a<sub>1</sub><sup>2</sup>+（n-1）4）<sup>1/2</sup>=-（4n-3）<sup>1/2</sup>(亦可由a<sub>n</sub><sup>2</sup>=a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>+4,n=2,3,…n,累加而得) （3） 注意到 a<sub>n</sub><sup>2</sup>-a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>=4,展开更多
文摘一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f（x）=（x<sup>2</sup>-4）<sup>1/2</sup>（x≤-2）.（1）求f<sup>-1</sup>（x）;（2）设a<sub>1</sub>=1,a<sub>n</sub>=f<sup>-1</sup>(a<sub>n-1</sub>)（n≥2,n∈N）,求a<sub>n</sub>;（3）求sum from i=1 to n 1/（a<sub>1</sub>+a<sub>i</sub>+1）的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:（1）函数,f（x）=（x<sup>2</sup>-4）<sup>1/2</sup>（定义域为x≤—2,值域为y≥0）的反函数为f<sup>-1</sup>（x）=-（x<sup>2</sup>+4）<sup>1/2</sup>（定义域为x≥0,值域为y≤-2） （2）∵a<sub>1</sub>=1,a<sub>n</sub>=f<sup>-1</sup>(a<sub>n-1</sub>)由迭代法得:a<sub>n</sub>=-(a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>+4)<sup>1/2</sup>=-(a<sub>n-2</sub><sup>2</sup>+2×4)<sup>1/2</sup>=…=-（a<sub>1</sub><sup>2</sup>+（n-1）4）<sup>1/2</sup>=-（4n-3）<sup>1/2</sup>(亦可由a<sub>n</sub><sup>2</sup>=a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>+4,n=2,3,…n,累加而得) （3） 注意到 a<sub>n</sub><sup>2</sup>-a<sub>n-1</sub><sup>2</sup>=4,
