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欧拉线——悄然兴起的高考热点
1
作者 陈靖逸 杜晓霞 卜君 《高中数理化》 2024年第9期41-46,共6页
瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.在各地新高考模拟试卷中... 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半,此直线被称为三角形的欧拉线,该定理被称为欧拉线定理.在各地新高考模拟试卷中,涉及欧拉线的试题频频“闪亮登场”,它们构思精巧、韵味十足、魅力四射,是考查考生的学科素养和关键能力的极好素材.下面精选一些例题加以剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法(通常试题会给出欧拉线的定义,本文不再赘述). 展开更多
关键词 学科素养 欧拉线 高考热点 解题方法 构思精巧 三角形 重心 垂心
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欧拉线与两边所围成三角形的性质
2
作者 严君啸 《中等数学》 2023年第4期39-41,共3页
揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB_(1)C_(1)的一种对称关系.既有文献已经证明△AB_(1)C_(1)外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB_(1)C_(1)欧拉线的逆斯坦纳点连线有... 揭示原△ABC和其欧拉线与选定的两边所围成的新△AB_(1)C_(1)的一种对称关系.既有文献已经证明△AB_(1)C_(1)外心与△ABC欧拉线的逆斯坦纳点连线过两三角形的公共顶点A.通过探究证明△ABC外心与△AB_(1)C_(1)欧拉线的逆斯坦纳点连线有同样的性质.亦给出△AB_(1)C_(1)的欧拉线平行于边BC的新证明.列出可能的三个新△AB_(1)C_(1)、△BC_(1)A_(1)、△CA_(1)B_(1)与△ABC四者的一些关联性质. 展开更多
关键词 欧拉线 逆斯坦纳点 Gossard定理 位似 外心
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探索三高模型中多圆半径问题
3
作者 张伟 《数学教学》 2023年第8期15-17,共3页
有时想探索一些问题,但不知道如何开始,感觉平常所遇问题都已经被探索很多遍了.这大概是很多一线老师的困惑。最近我研读了《欧拉线的发现与证明》(见《数学教学》2011年第5期),很有收获.深刻感觉研究之不易,即便是欧拉这样的数学大师,... 有时想探索一些问题,但不知道如何开始,感觉平常所遇问题都已经被探索很多遍了.这大概是很多一线老师的困惑。最近我研读了《欧拉线的发现与证明》(见《数学教学》2011年第5期),很有收获.深刻感觉研究之不易,即便是欧拉这样的数学大师,研究时也未必能快速得到结论,也需要反复探索,甚至下笨功夫. 展开更多
关键词 数学大师 一线老师 圆半径 欧拉线 笨功夫 所遇问题 《数学教学》 感觉
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三角形的内心和重心所在直线的一个有趣性质
4
作者 林以状 黄新民 《数学通讯》 2023年第21期37-40,共4页
本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:①当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;②直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5... 本文继续探究与欧拉线有关的问题,并给出三个新的有趣结果:①当不等边三角形的重心和内心所在直线垂直该三角形的一边时,重心和内心到该边距离之比为4:3;②直角三角形中,重心与内心的连线垂直三角形的一边,则该边与其余两边的比为3:4:5;③直角三角形的重心与内心的连线与一直角边交于一点,若内心到该交点的距离是内心与重心距离的/3倍,则该三角形的三边之比为1:3:2. 展开更多
关键词 三角形 内心 重心 欧拉线 探究 性质
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垂心四面体的十二点球 被引量：3
5
作者 胡如松 《中等数学》 1998年第3期25-26,共2页
定理 垂心四面体中,垂心到四面体各顶点的每线的第一个三等分点、四面体各面的垂心和重心,共12点共球,其球心在垂心四面体的欧拉线上,半径为垂心四面体的外接球半径的1/3。 证明:如图,四面体ABCD为垂心四面体,H、G、O分别为四面体的垂... 定理 垂心四面体中,垂心到四面体各顶点的每线的第一个三等分点、四面体各面的垂心和重心,共12点共球,其球心在垂心四面体的欧拉线上,半径为垂心四面体的外接球半径的1/3。 证明:如图,四面体ABCD为垂心四面体,H、G、O分别为四面体的垂心、重心、外心.由文[1]知,H、G、O共线,且HG=GO. 展开更多
关键词 四面体 垂心 球半径 三等分 欧拉线 中学数学 重心定理 中等数学 同理可证 湖南省
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三角形的一种位似变换与重心性质 被引量：2
6
作者 王丕直 《中学数学教学参考》 1997年第Z1期82-83,共2页
关键词 三角形重心 欧拉线 角平分线 九点圆 欧拉定理 证法 定理证明 三心 共线 周界
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欧拉圆与莱布尼兹公式 被引量：2
7
作者 马传渔 《中等数学》 北大核心 1993年第3期12-15,共4页
在当今国际数学奥林匹克中,不少国家,特别是东欧诸国对欧拉线、欧拉圆及莱布尼兹公式都很重视,这些内容不仅具有丰富的几何知识,而且同三角、代数等学科都有广泛的联系。本文拟对这方面的内容作一粗浅的介绍。
关键词 欧拉线 数学奥林匹克 莱布尼兹 几何知识 九点圆 圆幂定理 四点共圆 位线 平分线 直角坐标系
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证明以正交4球半径为4元数欧拉线的算法——四维体积勾股定理的应用(公式四) 被引量：2
8
作者 蔡国伟 《理论数学》 2019年第9期1043-1059,共17页
正交4球心组成的垂心四面体,在欧氏3D坐标系中,仅用四球半径,按勾股4态的4个共球半径、球心坐标、球心距垂心间距均有各自的同构公式。
关键词 体积勾股定理 垂心四面体 重心球 垂心球 外接球 8点球 20点球 12点球 6点球 欧拉线 算法
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三角形的九点二次曲线 被引量：2
9
作者 王奇志 王洪志 +1 位作者 王东生 王春华 《数学的实践与认识》 CSCD 北大核心 2006年第2期270-277,共8页
在任意三角形内,三边中点,三高的垂足,以及连接顶点与垂心的三线段的中点,都在同一圆上,此圆即为三角形九点圆.三角形的九点圆是欧氏几何中著名的优美定理,被称为欧拉圆和费尔巴哈圆.本文试图把垂心改换为平面内的任意点,相应地把三条... 在任意三角形内,三边中点,三高的垂足,以及连接顶点与垂心的三线段的中点,都在同一圆上,此圆即为三角形九点圆.三角形的九点圆是欧氏几何中著名的优美定理,被称为欧拉圆和费尔巴哈圆.本文试图把垂心改换为平面内的任意点,相应地把三条高线改换为过每个顶点各一条的共点直线组时,则将把三角形的九点圆有趣地推广为三角形的九点二次曲线.并具体讨论在不同的区域内得到的九点二次曲线. 展开更多
关键词 九点圆 九点椭圆 九点双曲线 九点二次曲线 欧拉线
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三角形几何场景,数学文化新情境
10
作者 徐俊 《数学之友》 2022年第17期70-72,共3页
数学文化为创设问题情境提供了沃土.以基本图形三角形为背景,结合数学文化,巧妙融合数学知识、数学思想与数学方法,从角、点、线多角度创设问题,是数学命题的重要方向.这在一定程度上,指导着教育教学与复习备考.
关键词 三角形 数学文化 黄金三角形 费马点 欧拉线
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坐标法证欧拉线定理——兼谈欧拉线性质的应用 被引量：1
11
作者 于志洪 《安顺学院学报》 1994年第2期48-51,共4页
“三角形的垂心、重心与外心在一直线上”。这便是著名的欧拉线(Euler Line)定理,亦称三心共线定理。该定理证法较多,现仅将解析法的10种方法归纳介绍如下:
关键词 欧拉线 坐标法 三点共线 直线方程 定比分点公式 点的坐标 解析法 点到直线 坐标系 垂心
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欧拉线的逆斯坦纳点性质初探 被引量：1
12
作者 严君啸 《中等数学》 2021年第3期19-21,共3页
在文[1]结尾处,笔者曾给出一个关于欧拉线的逆斯坦纳点的命题,但没有给出具体证明.本文笔者给出该命题的几何证明,并进一步探讨欧拉线的逆斯坦纳点的性质.先对某些字母的几何意义进行约定.如图1,在△ABC中,O、H、N、K分别为外心、垂心... 在文[1]结尾处,笔者曾给出一个关于欧拉线的逆斯坦纳点的命题,但没有给出具体证明.本文笔者给出该命题的几何证明,并进一步探讨欧拉线的逆斯坦纳点的性质.先对某些字母的几何意义进行约定.如图1,在△ABC中,O、H、N、K分别为外心、垂心、九点圆圆心、Kosnita点。 展开更多
关键词 欧拉线 几何证明 九点圆 斯坦纳 垂心 外心 几何意义 性质
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三角形的欧拉线 被引量：1
13
作者 黄全福 《中等数学》 2005年第8期2-5,共4页
关键词 三角形 欧拉线 三点共线 重心
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用向量方法研究三角形欧拉线的几何特征 被引量：1
14
作者 邬天泉 周海燕 《数学通讯（教师阅读）》 北大核心 2004年第09M期37-38,共2页
关键词 向量方法 高中 数学 学习辅导 三角形 欧拉线 几何性质
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初中数学视角下欧拉线和欧拉圆的证明
15
作者 池剑善 《数学教学通讯》 2018年第11期79-80,共2页
笔者查阅资料,发现没有人研究从初中数学的角度证明以大数学家“欧拉”命名的欧拉线和欧拉圆.本文所给的证明方法以初中数学课本知识为基础,并进行稍微拓展,该方法对初中生竞赛培优教学有一定的参考价值.
关键词 初中数学 欧拉线 欧拉
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一道全国高中联赛加试题的另法证明
16
作者 王博程 郭立军 《中学生数学（高中版）》 2007年第3期17-18,共2页
2001年全国高中数学联赛加试的第一题：“如图1,在△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N．求证：(I)OB⊥DF,OC⊥DE；(Ⅱ)OH⊥MN．此题已经有若干种解法见诸报端．本文再给出一种简单的解法。
关键词 欧拉线 欧拉圆
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多产的数学大师欧拉
17
作者 汪炳聪 陈言梅 《中学生百科（阅读写作）》 2007年第23期40-41,共2页
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家,他1707年出生在瑞士的巴塞尔(Basel)城,13岁进巴塞尔大学读书。
关键词 数学家 欧拉线 多产 巴塞尔 科学史 数学大师 欧拉方程 约翰 发表论文 瑞士
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有趣的“外心”与“垂心”
18
作者 武心录 《连云港师范高等专科学校学报》 1995年第4期80-85,共2页
三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的... 三角形的“外心”、“垂心”、“重心”共线,该直线称为欧拉线。欧拉线反映了三心之间的一种内在联系。三角形的“外心”、“垂心”、“重心”之间还有许多有趣的性质。 一、若△ABC的外心为O、重心为G、垂心为H,容易证明这三心之间的距离具有度量关系GH=2OG 二、若锐角△ABC的三边中点分别为D、E、F,△DEF的高线足分别为D′、E′、F′,容易证明△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的内心;若△ABC是钝角三角形,则△ABC的外心O是△DEF的垂心,又是△D′E′F′的一个傍心。 展开更多
关键词 垂心 外心 欧拉线 钝角三角形 垂直平分线 同理可证 斜三角形 度量关系 内在联系 重心
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用HTML5代替FLASH开发制作数学课件示例
19
作者 胡相红 《中国多媒体与网络教学学报（电子版）》 2016年第4期197-198,187,共3页
该文章阐述了HTML5替换Flash开发课件的必然趋势,并以课件'三角形中的线段,圆,欧拉线'为例,详细介绍了如何利用Jsx Graph绘制交互几何图形。
关键词 HTML5 欧拉线 绘图区 三角形区域 坐标平面 SEGMENT 几何对象 BUTTON 法向量 极线
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《几何重观》第一章 与三角形相联系的点和线
20
作者 Coxeter Greitzer 宗岳 《中学教研（数学版）》 1982年第6期26-35,共10页
《几何重观》是美国数学会最近出版的一套“新数学丛书”中的一本,该书是给学过平面几何的人看的,对教师尤为适宜.书中回顾历史上的一些重要定理,还有一些新的历史简介,完全是初等几何的内容,许多方面与中学教材有联系,也有提高.每节配... 《几何重观》是美国数学会最近出版的一套“新数学丛书”中的一本,该书是给学过平面几何的人看的,对教师尤为适宜.书中回顾历史上的一些重要定理,还有一些新的历史简介,完全是初等几何的内容,许多方面与中学教材有联系,也有提高.每节配有习题,供教师教学参考.为了帮助读者提高平面几何的知识和教学水平,本刊将分期连载译文,以拓广读者视野. 展开更多
关键词 美国数学 外接圆半径 欧拉线 角平分线 教学参考 初等几何 点和线 分期连载 位线 九点圆
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