高中生对实无穷概念的理解 被引量：11

1

作者 汪晓勤 周保良 《数学教育学报》 北大核心 2006年第4期90-93,共4页

自古希腊时期开始直到19世纪,实无穷这个概念一直困扰着数学家.亚里士多德只接受潜无穷,伽利略认为两个无穷集合无法比较大小,波尔察诺提出“包含关系”准则,康托尔最终才提出“一一对应关系”的准则.高中生对实无穷的理解、困惑以及所... 自古希腊时期开始直到19世纪,实无穷这个概念一直困扰着数学家.亚里士多德只接受潜无穷,伽利略认为两个无穷集合无法比较大小,波尔察诺提出“包含关系”准则,康托尔最终才提出“一一对应关系”的准则.高中生对实无穷的理解、困惑以及所用的策略与历史上的数学家的理解、困惑以及所用策略是相似的.因而印证了M.克莱因的论断——“历史是教学的指南”。 展开更多

关键词 实无穷 无穷集合 包含关系 一一对应关系

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论集合论基础中的“缺失一半”缺陷及解决思路 被引量：14

2

作者 欧阳耿 《喀什师范学院学报》 2013年第3期29-34,共6页

继续沿着与"认知"、"数学哲学"、"无穷"相关的研究思路,结合新发现的集合论基础中所存在的问题和具体案例,研究"集合""、集合中的元素"、"一一对应"这三个集合论中最原始... 继续沿着与"认知"、"数学哲学"、"无穷"相关的研究思路,结合新发现的集合论基础中所存在的问题和具体案例,研究"集合""、集合中的元素"、"一一对应"这三个集合论中最原始、基本内容的"本体—形式"论性质.结果表明,由于现有经典数学哲学、认知理论体系和无穷理论体系基础理论中的缺陷,导致集合论自创立以来,其基础理论中非常重要的一半内容一直处于完全空白的状态,使人们一直无法从"本体—形式"的角度认真对集合论的基础进行系统、科学的研究与认知[1-11],基础中的"缺失一半"问题是导致集合论中许多错误与悖论的真正根源,集合论基础中有一大片空白亟待人们去填补、开拓[12-16].在集合论基础的研究中,千百年来悬而未决的"无穷悖论综合症"揭示了人类科学现有理论体系中与"无穷"相关的基础理论深处肯定存在严重的缺陷,需要我们从很基础的地方去检查与研究,需要摆脱与"无穷"相关的现有理论体系中错误的"实无穷—潜无穷"思路的不良影响,解决这类特殊的疑难怪症需要开展"无污染基础研究"(这决定了该系列论文的文体和所引用参考文献的特殊性;应该根据所发现的集合类型,将各种各样的集合统一起来,构造出类似于"数谱"的"集合谱系",以"数谱"、"集合谱系"和"理论无穷—应用无穷"为基础[10],开拓全新的"集合分析"研究领域. 展开更多

关键词 数学基础 数学哲学 无穷集合 集合中的元素 一一对应 “无污染”基础研究 集合谱系 集合分析

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分式线性函数在证明无穷集合对等问题中的应用研究

3

作者 吴东旭 张琬 《东北师大学报（自然科学版）》 CAS 北大核心 2023年第1期5-8,共4页

利用分式线性函数,证明了实变函数论中无穷集合对等问题,并且应用复变函数的保形映射理论解决了从一个闭圆盘到扩充复平面的对等问题.给出了分式线性函数的映射性质,并通过例子说明了所给方法的有效性.

关键词 分式线性函数 无穷集合 对等

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世界上最大的旅馆——希尔伯特旅馆 被引量：2

4

作者 李鹏奇 《数学通报》 北大核心 2001年第9期44-45,共2页

关键词 无穷集合 希尔伯特 集合论 不可数集合 可数集合

原文传递

无穷的概念与实数理论问题—数学基础中的两个基本问题 被引量：1

5

作者 曹俊云 曹凯 《理论数学》 2012年第4期207-215,共9页

“无穷集合是完成了的事物”的实无穷观点必须取消;无穷的实用意义是“无有穷尽、无有终了的”。常量性无穷大是不存在的假无穷。自然数集合是一个极限性质的、不能被人构造完毕的理想集合。无尽小数的实用意义是无穷数列的简写。所有... “无穷集合是完成了的事物”的实无穷观点必须取消;无穷的实用意义是“无有穷尽、无有终了的”。常量性无穷大是不存在的假无穷。自然数集合是一个极限性质的、不能被人构造完毕的理想集合。无尽小数的实用意义是无穷数列的简写。所有理想实数都是康托尔基本数列的极限。理想实数的加、减、乘、除运算是极限性质的运算。 展开更多

关键词 无穷 无穷集合 无尽小数 理想实数 全能近似实数

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集合论的孕育与诞生

6

作者 沈汝彪 《数学通报》 2000年第5期38-40,共3页

关键词 集合论 无穷集合 诞生 一一对应

原文传递

零概率蕴涵不可能吗?——对一种无穷小概率进路的辩护

7

作者 朱自展 《自然辩证法通讯》 CSSCI 北大核心 2021年第12期40-45,共6页

在标准概率理论中,将一些非空可能性集的概率赋值为零会引发一系列的零概率可能事件问题。为了解决该类问题,诸多学者提出了"零概率蕴涵不可能"的观点,即正则性要求。由此,学界关于"零概率是否蕴涵不可能"的问题展... 在标准概率理论中,将一些非空可能性集的概率赋值为零会引发一系列的零概率可能事件问题。为了解决该类问题,诸多学者提出了"零概率蕴涵不可能"的观点,即正则性要求。由此,学界关于"零概率是否蕴涵不可能"的问题展开了争论。为了协调正则性要求与标准的概率公理,一种无穷小概率进路被引入,而威廉姆森对这一进路能否拯救正则性提出了质疑。但是,威廉姆森未能理解无穷小概率进路的理论基础。事实上,这一争论的核心在于,界定无穷集合大小的基础是部分性关系还是对应性关系,对这两种关系的区分,有助于我们更好地理解无穷小概率进路的实质,进而为正则性要求作出辩护。 展开更多

关键词 零概率 不可能 正则性 无穷小概率 无穷集合

原文传递

我们为什么要学习“集合”

8

作者 李隽易 《中小学数学（高中版）》 2019年第7期127-128,共2页

'集合'是高中学生学习的第一个数学知识,学生对'集合'学习的印象,很大程度上影响着他们对整个高中数学学习的判断.但在实际教学中'集合'就像天外来客般强行介入了课堂,主流的引入方式有以下两类:其一,以生活实... '集合'是高中学生学习的第一个数学知识,学生对'集合'学习的印象,很大程度上影响着他们对整个高中数学学习的判断.但在实际教学中'集合'就像天外来客般强行介入了课堂,主流的引入方式有以下两类:其一,以生活实例引入,通过列举实例,让学生感受'同一类对象汇集在一起',体会集合的含义;其二,以小学、初中涉及集合的案例引入,建立新旧知识的联系.这些引入方式对于帮助学生体会集合的含义. 展开更多

关键词 无穷集合 符号演算 数学情境 集合语言 代数系统

原文传递

对无穷集合论基本概念的几点批判

9

作者 郭猫驼 《理论数学》 2019年第2期147-151,共5页

Cantor集合论是现代数学尤其是微积分理论的基础,但其理论存在诸多逻辑漏洞,有必要明确指出,供学界批判。历史上,Cantor使用对角线法证明来实数的不可数性质,但是这种证明存在如下问题:Cantor使用无限小数进行证明具有不严密性,实数和... Cantor集合论是现代数学尤其是微积分理论的基础,但其理论存在诸多逻辑漏洞,有必要明确指出,供学界批判。历史上,Cantor使用对角线法证明来实数的不可数性质,但是这种证明存在如下问题:Cantor使用无限小数进行证明具有不严密性,实数和无限小数并非等价的关系;使用十进制小数进行证明,在证明过程中会漏掉10?0-?0个数;Cantor的证明的前提假设是“局部可以和整体进行一一对应”,这个假设未经证明因而不能说明其合理性。最后,本文在Cantor的关于“局部可以和整体一一对应”的前提下推导出了与传统集合论相反的结果,从而更加详尽的说明其荒谬性。 展开更多

关键词 康托 无穷集合 势 一一对应

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多极展开的讲授方法

10

作者 Constantino Grosse 金萱 《大学物理》 1987年第6期31-32,共2页

本文介绍以非理想的轴向多极子有限系列为基础的一种展开法．它用于讲授多极展开，显然比通常的幂级数方法更好，作为应用举例，证明了一个非理想偶极子等价于一个理想偶极子及一个非理想八极子的无穷集合．

关键词 讲授方法 多极展开 非理想 无穷集合 偶极子 展开法 多极子 幂级数

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无理数集与实数集的一一对应解析式

11

作者 蔡银英 《重庆教育学院学报》 2006年第6期35-36,共2页

本文讨论了上的全体无理数所成集合与之间的一一对应解析式,由此得到有关无穷集合的一些结论;并利用结论讨论了全体无理数集合与实数集合的一一对应解析式。

关键词 无穷集合 一一对应 可数集合

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从“无穷集合比较”探究学生的知识建构

12

作者 曹荣荣 《贵州师范学院学报》 2011年第9期8-10,共3页

建构主义学习观认为知识是由主体内部建构的,它强调学习是一种知识建构、知识的社会协商和社会实践参与过程,而情境认知理论的核心观点则认为"知识来源于活动",基于情境认知的教学更强调学习环境以及学习活动设计的提供。以&q... 建构主义学习观认为知识是由主体内部建构的,它强调学习是一种知识建构、知识的社会协商和社会实践参与过程,而情境认知理论的核心观点则认为"知识来源于活动",基于情境认知的教学更强调学习环境以及学习活动设计的提供。以"无穷集合的比较"为例来观察学生的知识建构过程,研究表明只有巩固了的知识才是完备的抽象过程,也只有这样才能更好地创建新的数学建构。 展开更多

关键词 抽象 情境嵌套模型 巩固 无穷集合

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无穷的奥秘

13

作者 王嵘 《中学生数学（高中版）》 2019年第12期26-27,共2页

什么是无穷?在生活中,"无穷"一词常用形容一种极端状态,我们对此毫无困惑,使用起来得心应手:前途无限,后患无穷,至高无上……但是,当在数学中使用"无穷"时,就出现了很多稀奇古怪的景象,连最伟大的数学家都为此心烦... 什么是无穷?在生活中,"无穷"一词常用形容一种极端状态,我们对此毫无困惑,使用起来得心应手:前途无限,后患无穷,至高无上……但是,当在数学中使用"无穷"时,就出现了很多稀奇古怪的景象,连最伟大的数学家都为此心烦意乱,感觉不知道如何解释无穷这个怪物.数学家到底在烦恼什么?伽利略说,正整数的个数是无穷的,正整数的平方的个数也是无穷的,那这两个无穷集合,哪一个元素更多呢? 展开更多

关键词 正整数 伽利略 数学家 无穷集合 至高无上 极端状态 得心应手

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集合论的故事

14

作者 王嵘 《中学生数学（高中版）》 2019年第9期23-26,共4页

说到集合,你可能会说,很简单.不过,你所学的、看到的,只是集合论的冰山一角.一起来看看集合论背后的故事吧.这个故事的主人公是乔治·康托尔.1866年,康托尔在柏林大学获得了博士学位,那时他的兴趣是数论,后来在海涅的建议下,转向了... 说到集合,你可能会说,很简单.不过,你所学的、看到的,只是集合论的冰山一角.一起来看看集合论背后的故事吧.这个故事的主人公是乔治·康托尔.1866年,康托尔在柏林大学获得了博士学位,那时他的兴趣是数论,后来在海涅的建议下,转向了分析学,并由此创立了集合论.这个故事的关键情节是如何创立一门新的数学分支.为此,我们将回到19世纪. 展开更多

关键词 康托尔 无穷集合 三角函数 数学家 三角级数

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无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源 被引量：14

15

作者 欧阳耿 《宜春学院学报》 2005年第4期26-29,共4页

从新构建的基础理论学的角度,以全新的基础理论学的方法[1],讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念:潜无穷式的与实无穷式的无穷集合.指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,其直接的后果... 从新构建的基础理论学的角度,以全新的基础理论学的方法[1],讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念:潜无穷式的与实无穷式的无穷集合.指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,其直接的后果就是:一方面混淆了原来的“有穷”概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为·集合论基础理论中这个致命缺陷是导致第三次数学危机的最根本原因·得出明确的结论:迄今为止,所有与无穷小、无穷大相关的问题与悖论在现存的含有潜无穷与实无穷概念的无穷理论体系中是不可解的,只有对现有的“无穷”概念进行修正,构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系[2、3]才是构建健康的无穷集合论的唯一途径. 展开更多

关键词 基础理论学 新陈代谢 潜无穷 实无穷 无穷集合中的元素 一一对应 第三次数学危机 第二次数学危机

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关于无穷集合概念的不相容性问题的研究 被引量：7

16

作者 朱梧槚 肖奚安 +1 位作者 杜国平 宫宁生 《南京邮电大学学报（自然科学版）》 2006年第6期36-39,共4页

文中证明古典集合论与近代公理集合论中的任何一个无穷集合都是自相矛盾的非集。

关键词 古典集合论 近代公理集合论 可数无穷集合 不可数无穷集合

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论无穷事物的定量认知(VI)——解决现有经典集合论及其“一一对应”定量认知工具基础理论中致命缺陷的新思路 被引量：4

17

作者 欧阳耿 《喀什大学学报》 2019年第3期16-22,共7页

结合具体案例,分析、研究长期被忽视的现有经典集合论及其“一一对应”定量认知工具基础理论中所存在的致命缺陷,而以新构建的“无穷规律-无穷规律的载体(抽象概念-抽象概念的载体)”概念为基础的新无穷观的产生,为与“无穷”概念相关... 结合具体案例,分析、研究长期被忽视的现有经典集合论及其“一一对应”定量认知工具基础理论中所存在的致命缺陷,而以新构建的“无穷规律-无穷规律的载体(抽象概念-抽象概念的载体)”概念为基础的新无穷观的产生,为与“无穷”概念相关的新科学理论体系各个领域(包括集合论和“一一对应”工具)的基础理论奠定了科学的基础,为解决2500多年来悬而未决的“无穷悖论综合症(悬挂在哲学与数学上空的一片巨大的乌云)”所暴露的一些问题开辟了一条新的思路. 展开更多

关键词 数学基础 无穷观 与“无穷”概念相关的悬而未决悖论综合症 潜无穷-实无穷 无穷集合中的元素 一一对应 新无穷理论体系 抽象概念-抽象概念的载体

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论“无穷事物”的定量认知(Ⅷ)——新、旧无穷集合论和数学分析基础理论中的三个不同特征 被引量：2

18

作者 欧阳耿 《喀什大学学报》 2020年第3期27-33,共7页

从最原始的基础入手,研究证明了无法科学定义、互相矛盾的“潜无穷—实无穷”概念是现有经典无穷理论体系的基础,以经典无穷理论体系为基础的现有经典数学分析和集合论自古以来都存在完全相同的三个基础理论缺陷,人们只能在缺乏科学基... 从最原始的基础入手,研究证明了无法科学定义、互相矛盾的“潜无穷—实无穷”概念是现有经典无穷理论体系的基础,以经典无穷理论体系为基础的现有经典数学分析和集合论自古以来都存在完全相同的三个基础理论缺陷,人们只能在缺乏科学基础理论的状态下摸索前进.虽然现有经典数学分析和集合论解决了许多实际的“无穷事物”定量认知问题,但也产生了许多性质完全相同的、专门暴露相同基础理论致命缺陷的各种悬而未决的悖论家族“.抽象事物—抽象事物的载体”为基础的新无穷理论体系和系统性的“无穷载体理论”的构建,为我们开辟了一条解决现有经典集合论和数学分析基础理论中的三个缺陷及其相关悖论的新思路,决定了第四代数学分析和第二代无穷集合论的产生. 展开更多

关键词 “无穷事物” 定量认知 无穷悖论综合症 潜无穷—实无穷 新无穷理论体系 “无穷载体”理论 “半阿基米德性” 第四代数学分析和第二代无穷集合论

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关于双射函数f:N×N×N→N的研究 被引量：1

19

作者 许精明 《微机发展》 2003年第10期102-103,106,共3页

讨论了可数无穷个可数无穷集合的并的计算问题。通过对自然数集合N的二次笛卡尔积运算———N×N和三次笛卡尔积运算———N×N×N的详细分析,得出了它们与自然数集合N之间都存在双射关系结论,即集合N×N和集合N×N... 讨论了可数无穷个可数无穷集合的并的计算问题。通过对自然数集合N的二次笛卡尔积运算———N×N和三次笛卡尔积运算———N×N×N的详细分析,得出了它们与自然数集合N之间都存在双射关系结论,即集合N×N和集合N×N×N都是可数无穷的。文中推导出了自然数集合N的三次笛卡尔积运算———N×N×N与自然数集合N之间的双射函数运算公式,对可数无穷集合的复杂计算作了进一步研究。得出结论:任意可数无穷个可数无穷集合的并(如N×N×N×…,即Nn)也是可数无穷的。 展开更多

关键词 集合论 自然数集合 可数无穷集合 双射函数 笛卡尔积 三次笛卡尔积运算

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基于双射函数f∶N^4→N的可计算性研究

20

作者 许精明 《计算机技术与发展》 2009年第1期100-102,共3页

对四重笛卡尔积双射函数f:N4→N计算过程进行了研究,分析了其内在启发式构造规律,导出了f:N4→N的显式计算式。运用的启发规则是,将N4集合中前三个元素和相等的四元组划归为同一类,并按顺序将各类连续排列,再用交替枚举访问的方式对N4... 对四重笛卡尔积双射函数f:N4→N计算过程进行了研究,分析了其内在启发式构造规律,导出了f:N4→N的显式计算式。运用的启发规则是,将N4集合中前三个元素和相等的四元组划归为同一类,并按顺序将各类连续排列,再用交替枚举访问的方式对N4中的各四元组进行访问,逐级构造出f:N4→N的显式计算式。并将该式整理为只含有加法和乘法的运算形式。进一步分析得:n重函数f∶Nn→N的时间复杂度是指数增长的,即O(cn),c∈N。对函数f∶Nn→N的计算属NP难问题。 展开更多

关键词 计算理论 双射函数 高重笛卡尔积 可数无穷集合 NP难

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